Conocer la distancia a los cuerpos celestes no solo es importante por saber lo lejos que está de nosotros un astro, sino que también nos sirve para conocer otros aspectos del cuerpo, como el tamaño o su luminosidad intrínseca.

Hoy día conocemos con bastante exactitud la distancia a los objetos astronómicos, ya sean éstos planetas, estrellas, nebulosas o galaxias, aunque este conocimiento es relativamente reciente (el cálculo de la distancia precisa a las estrellas más cercanas empezó a mediados del siglo XIX y de las estrellas lejanas o de las galaxias a mediados del pasado siglo).

Sin embargo, desde la antigüedad, el ser humano ha intentado calcular y conocer a qué distancia se encuentra la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas (el conocimiento de que existen otras galaxias es del pasado siglo).

Siempre he considerado importante e interesante conocer la historia de las investigaciones científicas, y no científicas también. Es por ello que he realizado dos entradas del Cálculo de distancias en astronomía, la presente, Cálculo de distancias en astronomía I: un poco de historia, donde comento un poco la historia de los cálculos de distancia astronómicos, y una segunda, Cálculo de distancias en astronomía II: Escalera de distancias cósmicas (todavía no la he escrito), donde explico ya cómo se calculan estas distancias tan enormes.

En principio iba a hacer una única entrada, pero como escribiendo la historia estaba viendo que se me estaba haciendo muy larga, he considerado mejor hacer dos entradas. Veamos así en esta entrada, un poco de la historia de los intentos de la humanidad en calcular la distancia que nos separa de los astros.

El primer intento documentado del cálculo de una distancia astronómica data del siglo III a. C. y fue debido a Aristarco de Samos (Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna), el cual se basó en la geometría de las posiciones de la Tierra el Sol y la Luna en fase de cuarto (creciente o menguante) y trigonometría, para calcular la distancia entre la Tierra y el Sol.

Si la Luna está en fase de cuarto, nuestro satélite, la Tierra y el Sol forman un triángulo rectángulo, donde las líneas Tierra-Luna (TL) y Luna-Sol (LS) forman el ángulo recto (catetos) y la línea Tierra-Sol (TS) es la hipotenusa. La razón o proporción en un triángulo rectángulo entre el cateto opuesto a un ángulo y la hipotenusa se conoce como seno del ángulo. Si consideramos el ángulo agudo que forman las líneas TS y LS, el seno de este ángulo es el cociente TL/TS.

El seno de un ángulo, como las otras razones trigonométricas (coseno y tangente), se conoce desde la antigüedad, por lo que a partir de esta razón podemos saber, no la distancia en unidades de longitud entre la Tierra y el Sol, pero sí en relación a la distancia entre la Tierra y la Luna, es decir, cuántas veces es la distancia entre la Tierra y el Sol respecto a la distancia entre la Tierra y la Luna.

De esta manera, Aristarco tenía que medir el ángulo agudo TS-LS. Como es un ángulo muy pequeño, y era imposible de medirlo en aquella época, lo que hizo fue medir el otro ángulo agudo (TL-TS), pero esto tampoco era fàcil. Aristarco intentó medirlo y le salió un ángulo de 87º, por lo que el otro ángulo agudo era de 90º – 87º = 3º, saliéndole una distancia entre la Tierra y el Sol 20 veces mayor que la distancia entre la Tierra y la Luna.

Aristarco utilizó una metodología correcta, pero erró en la medición del ángulo, realmente no son 87º, sino 89º 50′, por lo que el ángulo agudo pequeño es de 90º – 89º 50′ = 10′ de arco. Aunque el error es de algo menos de 3º (2º 50′), el resultado final de la ecuación sí es muy diferente, estando realmente casi 400 veces más lejos el Sol de la Tierra que la Luna de la Tierra (en realidad es TS=400TL).

Si ponemos cifras a todo esto, sabiendo que la distancia media de la Tierra a la Luna es de 384000 km, según Aristarco la distancia de la Tierra al Sol sería:

TS = 20 · 384000 km = 7680000 km

Bastante menos que la distancia real de 150000000 km. Evidentemente, estas cifras en kilómetros las he puesto yo, sabiendo la distancia que hay de la Tierra a la Luna. Este dato Aristarco no lo sabía y dejó la distancia entre la Tierra y el Sol en función de la distancia entre la Tierra y la Luna, es decir TS=20TL.

De todas maneras, y como he comentado, su metodología fue correcta y concluyó que la Luna y el Sol no estaban a la misma distancia de la Tierra, que el Sol estaba bastante más lejos y las «estrellas fijas» mucho más.

Además, como la Luna y el Sol tenían el mismo tamaño aparente, pero el Sol estaba bastante más lejos, quería decir que éste era mucho más grande, tanto de la Luna como de la Tierra. Y, si el Sol era mucho más grande que la Tierra, ésta habría de girar en torno a aquél y no al revés. De hecho, Aristarco ya habla de un sistema heliocéntrico, con el Sol en el centro del universo y todos los cuerpos celestes orbitando a su alrededor, menos la Luna, que orbita en torno a la Tierra.

También la «esfera de estrellas fijas» orbitaría en torno al Sol según Aristarco, y se le ocurrió medir la distancia a dichas estrellas usando el paralaje. Como la Tierra giraba en torno al Sol, en dos posiciones opuestas de la órbita se podría observar el paralaje de una estrella y calcular su distancia (ver como se hace este cálculo en la entrada Cálculo de distancias en astronomía II: Escalera de distancias cósmicas, pero todavía no la he escrito).

Pero Aristarco no observó ningún paralaje en las estrellas. Normal, la estrella más cercana, Próxima del Centauro, tiene un paralaje de 0,77 segundos de arco, un ángulo muy, pero muy pequeño para poder ser medido hace 2300 años, pero ni siquiera durante mucho tiempo después, ya que no fue hasta el siglo XIX en que se consiguió medir el paralaje de estrellas cercanas. Evidentemente, a ojo no se pueden observar paralajes tan pequeños, se necesita un telescopio para ello, y algo potente. Como no observó cambios de posición en las estrellas (paralaje), Aristarco concluyó que estaban muy, pero muy lejos.

Aristarco también intentó calcular el tamaño de la Luna. Como con la distancia al Sol, sus cálculos no fueron directamente en unidades de longitud sino que en este caso en función del tamaño de la Tierra.

Para este cálculo se basó en los eclipses totales de Luna, en los cuales el Sol, la Tierra y la Luna están perfectamente alineados con la Tierra en medio, haciendo que la sombra de ésta tape la Luna.

Como ya se dio cuenta, y acabamos de ver, el Sol estaba muy lejos, bastante más que la Luna y era mucho más grande, lo que hacía que sus rayos llegaban paralelos a toda la Tierra. Él pensó que la sombra que producía la Tierra era cilíndrica, no cónica como es en realidad. De esta manera, el diámetro del cilindro de la sombra sería el diámetro real de la Tierra.

La sombra de la Tierra, que es así su diámetro, es más grande que la Luna, por lo tanto, si sabemos cuántas lunas caben en dicha sombra, podemos saber el tamaño de la Luna en función al tamaño de la Tierra.

Podía saber cuántas lunas cabían en la sombra si conocía el tamaño angular (o aparente, es lo mismo) de nuestro satélite y la velocidad angular en su órbita alrededor de la Tierra. Para ello, consideró una «estrella fija», que sabía que estaba muy, pero que muy lejos y calculo el tiempo que tardaba la Luna en atravesarla, y vio que era de una hora. Es decir, la Luna tardaba una hora en recorrer su diámetro.

¿Y cuánto era este diámetro, en este caso angular? Bien, él sabía que el tiempo entre dos fases iguales de la Luna (mes sinódico), era de 29,5 días. Aristarco, y hasta que Kepler no dijo que las órbitas eran elípticas, pensaba que la órbita de la Luna era circular. De esta manera concluyó que, si la Luna tardaba 29,5 días en completar una órbita (360º), en una hora completaría xº, que era, además, el diámetro angular la Luna. Es decir:

Medio grado, o 30 minutos de arco, que es precisamente el diámetro angular o tamaño aparente de la Luna. Además, con este dato concluyó que la Luna viajaba alrededor de la Tierra a una velocidad angular de 0,5º / hora.

Ahora lo que hizo fue calcular el tiempo que tardaba la Luna, en un eclipse lunar total, en atravesar la sombra de la Tierra, esto es, desde que entraba en la sombra hasta que salía, viendo que era de tres horas. Es decir, que en la sombra de la Tierra, que según Aristarco era el tamaño real de la misma, cabían tres lunas, lo cual indicaba que la Tierra era tres veces el tamaño de la Luna o que ésta era 1/3 de aquella.

Si hacemos números (Aristarco no podía porque todavía no sabía el tamaño real de la Tierra), sabiendo que el diámetro de la Tierra en el ecuador es de 12756 km, tenemos:

Diámetro Luna = 12756 : 3 = 4252 km

El diámetro real de la Luna es de 3476 km, es decir, a Aristarco le salió alrededor de un 20% mayor de lo que es realmente, pero igualmente un cálculo muy bueno teniendo en cuenta que se hizo hace 2300 años y con la tecnología que disponía en aquella época.

Realmente, la Tierra es unas 3,7 veces mayor que la Luna, como vio poco después Hiparco y como veremos más adelante. El error principal de Aristarco fue considerar la sombra de la Tierra en un eclipse en forma cilíndrica y no cónica como es en realidad; al ser cónica está reducida y realmente en la Tierra cabrían en línea tres lunas y algo más.

Y ya para acabar con Aristarco. Observó que el tamaño aparente del Sol era el mismo que el de la Luna (0,5º), pero que si estaba más lejos de la Tierra que la Luna, habría de ser más grande para tener el mismo tamaño aparente. ¿Y cuánto más? Está claro, si el Sol estaba 20 veces más lejos de la Tierra que la Luna y ambos astros tenían el mismo tamaño aparente desde la Tierra, ello quería decir que el Sol era 20 veces más grande que la Luna.

El planteamiento es correcto, pero como en realidad el Sol está unas 400 veces más lejos de la Tierra que la Luna, su tamaño es unas 400 veces más grande.

Tanto con la Luna como con el Sol, Aristarco cometió errores muy normales para la época y los recursos de los que disponía, pero utilizó una correcta y sencilla metodología y sus estudios sirvieron de base para que Hiparco de Nicea, algo más de un siglo después, calculase la distancia de la Luna a la Tierra, así como el tamaño real de la Luna, pues entre ambos Eratóstenes calculó el tamaño de la Tierra.

Así, antes de Hiparco, y unos años más tarde de Aristarco, pero también en el siglo III a. C., se hizo otro cálculo astronómico importante, aunque no de distancias, sino de dimensiones de un planeta, la Tierra, y fue debido a Eratóstenes de Cirene, cálculos que sirvieron de base para el cálculo del tamaño de la Luna y de la distancia de la Tierra a nuestro satélite efectuado por Hiparco. Eratóstenes fue el primer ser humano en calcular las dimensiones reales de un planeta.

Eratóstenes era director de la legendaria biblioteca de Alejandría y, en uno de los muchísimos papiros que habían en ella, leyó que en Siena (actual Asuán), ni las personas ni los objetos verticales como palos o columnas proyectaban sombra alguna al mediodía del solsticio de verano, es decir, que el Sol estaba por encima de las cabezas, en el cenit.

Eratóstenes se preguntó si pasaría lo mismo en Alejandría, ciudad situada más al norte, así que se esperó al solsticio de verano y observó que las columnas, las personas y en general los objetos verticales, sí proyectaban sombra. Él pensó que, si la Tierra era plana, o bien en las dos ciudades se habría de proyectar una sombra o bien ninguna, pero que si en una había sombra y en la otra no, la única explicación era que la superficie de la Tierra no era plana, sino curva, es decir, que la Tierra era esférica.

Ante esta situación, pensó que si clavaba una estaca en el suelo (gnomon) en el solsticio de verano en Alejandría, la prolongación del rayo de Sol en Siena y de la estaca en Alejandría se cruzarían en el centro de la Tierra, formando un ángulo α que abarcaría un arco de longitud la distancia entre ambas ciudades.

De esta manera, si conocía el valor de este ángulo y la distancia entre Siena y Alejandría, por proporcionalidades (teorema de Tales, que en época de Eratóstenes ya se conocía, pues Tales de Mileto vivió tres siglos antes), podría saber la circunferencia de la Tierra, ya que si un ángulo α abarca un arco de longitud x, un ángulo de 360º abarca un arco de longitud la circunferencia de la Tierra (su perímetro).

Para calcular el valor de este ángulo, observó que dicho ángulo y el formado por la estaca en Alejandría y el rayo de Sol eran el mismo (en líneas paralelas cortadas por una línea secante a ambas, los ángulos internos alternos son iguales), por lo que midió la longitud de la estaca y la de su sombra, obteniendo un ángulo de 7,2º, es decir, 1/50 de una circunferencia (360º / 50 = 7,2º).

Para medir la distancia entre ambas ciudades, parece ser que lo hizo a pasos, puede que contratase a alguien, puede que fuese un esclavo, puede que …, aunque también puede que preguntase a caravaneros por el tiempo (días) que tardaban en hacer dicho recorrido y la distancia que recorrían en un día. El caso es que obtuvo una longitud de 5000 estadios (unos 800 km), con lo que ya pudo calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra y le dio unos 40000 km, muy acertada teniendo en cuenta que la longitud en el ecuador es de 40075 km.

Y no se quedó aquí, ya que a partir de la fórmula de la longitud de una circunferencia a partir de su radio, dedujo que el radio de la Tierra era de unos 6366 km (diámetro 12732 km), muy acertado también, pues el radio en el ecuador es de 6378 km (diámetro 12756 km).

A pesar de toda la genialidad por parte de Eratóstenes, y más hace 2300 años, hay que tener en cuenta que tuvo suerte. Por un lado Asuán está prácticamente en el trópico de Cáncer, por lo que en el solsticio de verano el Sol cae perpendicularmente; Alejandría está más al norte y casi en el mismo meridiano que Asuán; y para acabar, tuvo suerte en la medición de la distancia entre las dos ciudades, ya que el método (pasos), podía haber dado un resultado muy erróneo y casi lo clavó (en línea recta, la distancia entre ambas ciudades es de 843 km).

En aquella época, las estimaciones de Eratóstenes no gustaron mucho, pues consideraban que la Tierra había de ser bastante más pequeña.

Un siglo y medio más tarde, entre los siglos II y I a. C., vivió otro sabio griego, Posidonio de Apamea, el cual calculó también el tamaño de la Tierra pero utilizando un método astronómico en lugar de geométrico como Eratóstenes. El método de Posidonio se basaba en el ángulo de visualización de la estrella Canopus (α Car), la estrella más brillante de la constelación Carina (o Quilla), y la segunda estrella más brillante de todo el firmamento después de Sirio, desde dos ciudades que se encuentran casi en el mismo meridiano, Rodas y Alejandría.

Posidonio encontró también una buena estimación de la circunferencia de la Tierra, entre los 32000 km y los 43000 km. La medida menor fue mas aceptada e incluso reducida. Primero Estrabón (siglos -I y I) y después Ptolomeo (siglo II), consideraron que la distancia entre Rodas y Alejandría era menor que la que utilizó Posidonio, lo cual reducía el perímetro de la Tierra a unos 280000 km, y esto lo plasmó Ptolomeo en su Geografia.

Parece ser que Colón, habiendo leído la obra de Ptolomeo, aceptó esta medida reducida de la Tierra, lo que hizo que se aventurase a cruzar el Atlántico en aquella época. Él pensaba que, yendo hacia el oeste desde Europa, las Indias se encontraban a unos 5000 km. Tuvo la gran suerte de encontrarse con América, para él las Indias, porque sino, muy probablemente, su aventura hubiese acabado dramáticamente.

Con los datos de las dimensiones de la Tierra, y con la base que había dejado Aristarco, el también griego Hiparco de Nicea, en el siglo II a. C, calculó el tamaño real de la Luna y la distancia de ella a la Tierra.

Para calcular el tamaño de la Luna, Hiparco también se basó en los eclipses totales de Luna, y también como él, consideró que al estar el Sol mucho más lejos que la Luna, la sombra del la Tierra proyectada sobre nuestro satélite, había de tener el mismo tamaño que la Tierra.

Para saber cuántas lunas cabían en la sombra de la Tierra, lo que hizo fue dibujar, en papel transparente, las siluetas de la Luna y la sombra en diferentes fases del eclipse.

Cuando acabó el eclipse, se dedicó a completar los círculos de las sombras y las lunas, y observó que la relación entre los diámetros no era de 3, sino de 3,7.

Como gracias a Eratóstenes ya conocía el diámetro de la Tierra, para saber el de la Luna simplemente lo había de dividir por 3,7:

Diámetro Luna = 12732 : 3,7 = 3441 km

Muy acertado sabiendo hoy día que dicho diámetro es de 3476 km.

Una vez conocido el tamaño de la Luna, calcular la distancia no era complicado. Como Aristarco, Hiparco pensaba que la órbita de la Luna era circular, por lo que en 29,5 días recorría un espacio de 2πr, donde r era el radio de la órbita de la Luna, es decir, la distancia entre la Tierra y la Luna; simplemente era aplicar unas proporciones: si 0,5º corresponden a 3441 km (en las unidades de la época, estadios), 360º (toda la circunferencia) corresponderán a 2πr km:

Bastante acertado, teniendo en cuenta que hoy día se estima que la distancia media entre la Tierra y la Luna es de 384000 km.

Y, a partir de aquí, hay un tiempo muy largo, de unos cuantos siglos (hasta el Renacimiento), en que todo este conocimiento estuvo olvidado. Parte se perdió, parte se conservó y parte se conocía por referencias; pero como comento, estuvo prácticamente olvidado. Y no solo eso, apenas se avanzó nada, y no solo en el cálculo de tamaños y dimensiones astronómicas, sino en muchos otros aspectos, científicos y no científicos.

En astronomía, y especialmente en lo referente a distancias y tamaños, el sistema geocéntrico que prevaleció durante todo este tiempo, dificultó que se avanzara en este aspecto. Gracias a la nueva visión heliocéntrica que introdujo Nicolás Copérnico en el siglo XVI, todo esto empezó a cambiar; también gracias a Johannes Kepler y sus leyes publicadas en el siglo XVII, especialmente la tercera ley, se pudo calcular con cierta precisión la distancia del Sol, no solo a la Tierra, sino también al resto de planetas.

En el caso de la distancia de la Tierra al Sol, no fue hasta llegados los siglos XVI y XVII en que se empezaron a obtener buenas aproximaciones, especialmente en el siglo XVIII.

El más importante fue el propuesto en el siglo XVIII por Edmund Halley (sí, el mismo que calculó la órbita y el periodo del cometa que lleva su nombre), el cual se basaba en el tránsito de Venus. En un tránsito de Venus (o Mercurio), el planeta está entre el Sol y la Tierra de manera que, desde ésta, puede observarse el paso del planeta atravesando el disco solar como un pequeño círculo oscuro siguiendo un movimiento rectilíneo.

El paralaje es el cambio aparente de posición de un objeto cercano respecto a un fondo más alejado visto desde dos puntos diferentes. Podemos observar este fenómeno observando un dedo de nuestra mano con ésta extendida, primero con un ojo y después con el otro.

Halley pensó que, si se podía medir el paralaje observado de Venus sobre el Sol (distancia angular entre A’ y B’ en la figura) desde dos posiciones muy alejadas de la Tierra, alejadas en latitud, no en longitud (A y B en la figura), si conocía la distancia entre esas dos posiciones, con matemáticas y aplicando la tercera ley de Kepler, podía conocer la distancia al Sol. Para calcular dicho paralaje, observando el tiempo transcurrido desde que Venus entra en el disco solar hasta que sale del mismo (tiempo que dura el tránsito), desde cada uno de los dos lugares de observación, y midiendo también las distancias recorridas de los planetas en el disco solar, con un poco de trigonometría podía calcularse esta distancia angular, es decir, el paralaje.

En la figura, el paralaje es la distancia angular entre A’ y B’, que es la misma que entre A″A^III y B″B^III. Por otro lado, t_A es el tiempo que dura el tránsito de Venus desde la posición en la Tierra A y t_B desde B.

Halley predijo que hasta 1761, y después en 1769, no habría ningún tránsito de Venus. Como para esas fechas él ya tendría más de 100 años (nació en 1656) y dedujo que ya no estaría vivo (de hecho murió en 1742), propuso que tanto en 1761 como en 1769 se organizaran expediciones a lugares diferentes de la Tierra para medir estos dos tránsitos y poder calcular, con el método que él pensó, la distancia de la Tierra al Sol.

Y así se hizo; en ambos años se realizaron expediciones a diferentes puntos del planeta para realizar dichas mediciones, con mejores resultados en las realizadas en 1769, de las que salió que la distancia de la Tierra al Sol era de unos 151 millones km, bastante acertada ya.

A partir de aquí, y también con la tercera ley de Kepler, se calcularon las distancias del resto de planetas y poco a poco se fueron afinando más. A partir del siglo XIX se empezaron a medir las distancias a estrellas cercanas mediante paralaje y en el siglo XX, con otros mecanismos explicados en la entrada Cálculo de distancias en astronomía II: Escalera de distancias cósmicas, a estrellas más lejanas y galaxias, así como las distancias precisas a los cuerpos del Sistema Solar.

En esta entrada he citado los intentos de cálculos de distancias astronómicas más importantes que se han dado a lo largo de la historia; ha habido más, especialmente a partir del Renacimiento, pero si los tuviera que citar todos habría para escribir unas cuantas páginas.